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数学建模¶
控制模型的建立¶
这里的控制模型分为内环（航向角）和外环（横向偏差）两个部分
外环¶
外环使用的偏差是横向偏差：
\[ e_y=y_{ref}-y \]
- \(y_{ref}\) : 参考轨迹的横向位置
- \(y{: }\) 车辆当前横向位置
- \(e_y:\) 横向偏差
就是现在的车的位置离目标位置多远
这一部分的偏差使用 PID 控制，得到了第一个航向修正量 \(\Delta \theta\)：
\[ \Delta\theta=k_{py}e_y+k_{iy}\int e_ydt+k_{dy}\frac{de_y}{dt} \]
含义
根据横向偏差，生成一个应该额外补偿的航向角修正量 \(\Delta \theta\)。
内环¶
航向角的偏差：
\[ e_\theta=\theta_{ref}-\theta \]
- \(θ_{ref}\) : 参考航向角
- \(θ\) : 车辆当前实际航向角
- \(e_θ\) : 航向角误差
总的航向角修正¶
就是结合上面的两个偏差：
\[ e_\theta^*=e_\theta+\Delta\theta \]
前轮转角部分¶
前轮转角由前馈和后馈两个部分组成：\(\delta=\delta_{ff}+\delta_{fb}\)
前馈¶
就是由参考的轨迹曲率提前给的应该有的转角：
\[ \delta_{ff}\approx L\cdot\kappa \]
就是轴距乘以参考的轨迹曲率，在汽车理论中
这里的前轮转角也是近似的，在二自由度稳态中的公式为：\(\delta_{ff}=\frac{L}{R}+LKa_y\)
反馈¶
使用的是上述的 总的航向角修正
\[ \delta_{fb}=k_{p\theta}e_\theta^*+k_{d\theta}\frac{de_\theta^*}{dt}-k_rw_r \]
一个 PD + 横摆角速度反馈
- 第一项：航向角误差比例控制
- 第二项：“D 微分抑制”，意思是抑制快速变化，减少振荡
- 如果车辆当前横摆角速度太大，就反向抑制一下，避免转向过猛、摆振太强。
以上就是控制模型的建立
被控对象的建立¶
这一部分可以使用 carsim 代替
实际上就是几个物理量之间的关系：
\[ \delta\to w_r\to\theta\to y \]
对应的传递函数关系就是图中的：
\[ \begin{gathered}\frac{w_r(s)}{\delta(s)}=\frac{K_\delta}{Ts+1}\\\frac{\theta(s)}{\delta(s)}=\frac{K_{\delta}}{s(Ts+1)}\\\frac{y(s)}{\delta(s)}=\frac{VK_\delta}{s^2(Ts+1)}\end{gathered} \]
但是上述的公式是比较近似的，实际上的横摆加速度与前轮转角的公式为：
- 二自由度稳态：
\[ \frac{\omega_r}{\delta})_s=\frac{u/L}{1+Ku^2} \]
- 二自由度非稳态：
\[ \ddot{\omega}_\mathrm{r}+2\omega_0\zeta\dot{\omega}_\mathrm{r}+\omega_0^2\omega_\mathrm{r}=B_1\dot{\delta}+B_0\delta \]
\[ \frac{\omega_r(s)}{\delta(s)}=\frac{B_1s+B_0}{s^2+2\omega_0\zeta s+\omega_0^2} \]
总的来说：¶
\[ \begin{gathered}e_{y}=y_{ref}-y\\\Delta\theta=k_{py}e_{y}+k_{iy}\int e_{y}dt+k_{dy}\dot{e}_{y}\\e_\theta^*=\theta_{ref}-\theta+\Delta\theta\\\delta_{fb}=k_{p\theta}e_\theta^*+k_{d\theta}\dot{e}_\theta^*-k_rr\\\delta_{ff}=L\kappa\\\delta=\delta_{ff}+\delta_{fb}\\\frac{r(s)}{\delta(s)}=\frac{K_{\delta}}{Ts+1}\\\theta(s)=\frac{1}{s}r(s)\\y(s)=\frac{V}{s}\theta(s)\end{gathered} \]
参数的修改¶
首先是外部的 PID 参数¶
此时的图像的性质：
优化之后的参数¶
函数：¶
主函数：提取 pid 中的参数，调用方法优化参数
patternsearch（模式搜索算法）
从初始点开始，从上下左右试探参数
找到更好的就过去
步子从大到小，越调越精细
损失函数：