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数学基础

首先要将那些重要的拉氏变换的公式记下来

拉式反变换
  1. 不同极点（拆成一次乘以一次这样的，而且是实数）的直接在 F (s) 前面乘以一个式子，带入这个式子为 0 时的表达式
  2. 多重的极点（就是一个式子的几次方）拆的时候拆成 n 个式子，分子上还是常数，前乘的数为 \((s+s_1)^n\)，之后根据不同的常数进行求导，再带入 s=-s 1 即可（注意这里的参数是从后往前算的，之后要反过来带入）
  3. 共轭的（有高次的子式，一般为 2 次方程），则分子为减一次的，也是要前乘分母的
  4. 注意，这里拆的时候一定要将其化为首一的形式，否则求导的时候会有问题（会产生新的常数），可以把式子的左右都写出来看一下
使用的函数
  1. 时域分析判断稳定性还有分析性能使用的是闭环传递函数（只不过题目中会给开环传递函数）
  2. 根轨迹使用的是开环传递函数的分子和分母分析闭环的极点（单位负反馈的条件下）
  3. 频域分析是使用开环传递函数分析闭环的极点分布（也是单位负反馈的条件下）（但实际上画图的时候是个函数都能画）
    但是不管怎么样，分析稳定性时，分析的都是闭环传递函数的特征方程的根的分布

反变换中重要的是拆成什么样子的了
对于分母为 2 次的，使用指数乘以三角函数凑出来，先凑分子，类似这种：

\[ F\left(s\right)=\frac{-s}{s^2+s+1}+\frac{1}{s}=\frac{1}{s}-\frac{s+\frac{1}{2}}{(s+\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2}+\frac{\frac{1}{2}}{(s+\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2} \]
拉式变换
  • 拉式变换是对时间 t 进行积分，积分的区间是（0，无穷）
  • 我们记忆的那些是建立在定义域是（0，无穷）上的，变了的话就不能直接套公式了

延迟（延时）是可以使得传递函数中出现以 e 为底的指数项的

题目

看一下最后的那个解常微分方程的

数学模型

传递函数是零初始状态下的

传递函数形式
  • 首一形：也就是所有 s 的系数为 1 的形式（分子为零点，分母为极点）
    也称为零极点的形式，在根轨迹的分析方法中使用
    拉式反变换的时候也是这种形式
  • 尾一形：后面加的常数为 1 的形式（前面的系数就是时间常数）
    在后面的频域分析法画图时用到
    在前面的时域分析的时候也会用到（一阶系统的分析）、
    开环、闭环增益是尾一标准型的
  • 拆开的形式
    劳斯判据中使用

信号流图中的一个节点代表的是一个信号（所以有几个不同的信号就有几个节点）


这个题的计算，主要是前向通路（G(3)G(5)H(2)这个绕了一圈的通路也是算的）

计算类似电路的传递函数的时候直接使用复阻抗最简单

  • 最后求阶跃响应的时候也要转为时域上的
  • 回路也千万不能少了，从后面的节点往前看，分叉也一定要看，只要构成回路就行（2-8 a）
  • 不是主干路上的引出点也要排查
  • 相对于信号传递的箭头方向，移动方向与箭头同向为‘后移’，反向为‘前移’，再结合 “移动时需补偿复阻抗（或传递函数）” 的规则，就能准确操作。
  • 局部的小圈的回路（2-8 c）
关于梅森公式的一个理解
  • 回路做法：
    • 首先从后往前找节点（引出点），将其作为回路的起点，然后沿着箭头的方向走，走回来就算
    • 将一个引出点上所有的所有的回路找完之后，就将这个引出点划上×，之后的其他引出点的回路不能经过这个引出点了（因为这样我认为是重复的）
    • 用类似的方法找完所有的引出点（所有的！），不在主干路上的引出点也要找出来
    • 找完所有的回路之后，计算余子式
  • 前向通路：
    • 首先前向通路是所有输入到输出之间的通路（也有可能是其他的，根据题意改一下即可），并没有向前走还是向后走的说法，对于扰动来说，向后走再绕到输出也是前向通路
    • 把每一个分叉点都走一遍，确保把每条路都走了（先定前面的，走完后面引出点的分叉，然后都找完之后往前找引出点分叉，保证一个都不漏）
  • 说明：
    • 可见，只要符合回路和通路的条件，且没有重复经过一点就算（顺着箭头的方向走）
    • 不同回路或者前向通路的表达式是可以一样的，只要走的路不完全一样就可以！

特别的传递函数：

  • 误差传递函数： \(\Phi_e(s)=\frac{E(s)}{R(s)}\)，通路为从输入到误差函数的通路（还可以直接建立误差函数与输入输出函数之间的关系，使用之前的输入输出闭环传递函数直接求）
  • 扰动传递函数：\(\Phi_n(s)=\frac{C(s)}{N(s)}\)，通路为从扰动到输出的通路
  • 所以可见，在求通路时，通路为从分母到分子的通路
结构图的等效化简
  1. 顺着箭头移动是后移，逆着箭头移动是前移
  2. 比较点上有两个箭头，比较点可以随便带着一个箭头在另一条线上移动，而失去了比较点的箭头直接使用引出点补全（箭头是-的话还要乘以-1）
  3. 移动箭头使得有两个传递函数直接相连或者使得两者一端是比较点，一端是引出点(中间不能有其他的隔断)就算成功（与一条线（1）成这种关系也是可以的）（也就是一端仅靠着线引出点连着，一端仅靠着线比较点连着）
  4. 反正向着相邻的移动即可，不一定非要在主干路上

见 28 c 的题（结构图的方法）

时域分析

稳态误差就是时间趋于无穷时的时域上的输入减去输出

稳定性的判断

稳态误差
  1. 求出输入、扰动到误差的传递函数，求出稳态误差的表达式，使用终值定理
    注意误差是时域上的
    只有单位反馈系统误差是输入减去输出（有的还乘了其他的函数）
  • 注意是开环传递函数还是闭环传递函数，什么时候需要变一下
劳斯判据
  1. 使用劳斯判据的时候是闭环的特征方程
  2. 劳斯判据需要把方程的每一项都补齐
  3. 先把一行都算完之后再看是否是特殊的情况

这章给的一般都是单位负反馈系统的开环传递函数，需要稍微变一下（不过特征方程就是给出函数的分子加分母）

一定要标注误差函数的位置（变成扰动之后就不是扰动之后的那个信号了）

响应要将时域上的输出求出来的

二阶系统中不同阻尼的系统中的稳定性分析是不一样的，一定要仔细区分

根轨迹

根轨迹针对的是开环传递函数

  • 是否震荡等价于有没有复数根——有震荡必有带虚部复数根，无震荡纯实数
  • 是否稳定看实部的正负
步骤
  1. 首先必须变为首一的形式，此时的常数是根轨迹增益 \(K^*\)，不是之前的 K
  2. 之后根据我写的步骤进行求解

对于重数为 r 的分离点（即 r 条根轨迹在此点分离或会合），分离角的通用公式为：

\(\theta_f = \frac{\pm 180^\circ (2q + 1)}{r} \quad (q = 0, 1, 2, \dots, r-1)\)

一般是两条根轨迹交汇，所以求出的角度应该是 90° （正负）

  • 在有无限零点的情况下，一个零点和无穷远处之间是根轨迹，因为根轨迹的起点必须是极点，终点是零点，所以必定有个零点在无穷远处作为终点（轨迹必须是有起始点的）

画轨迹的时候划上箭头
无限零点除了看实轴上的根轨迹，其他都不算在内（算起始角的时候）

频域分析

  • 不管是画根轨迹还是画奈奎斯特都要将方向标出来，而且做题的时候要注意方向

  • 截止频率（又称幅值穿越频率，记为 \(\omega_c\)）
    核心定义：开环频率特性的幅值衰减到 1（即 0 dB）时对应的角频率。

  • 穿越频率（又称相位穿越频率，记为 \(\omega_g\)）
    核心定义：开环频率特性的相位滞后达到 -180° 时对应的角频率。

注意，求反正切函数的时候，当角度大于 90°时需要加上 180°（转换一下，在这个复数图中）

仅仅让你画幅相特性图的时候要看与实轴虚轴有无交点（通过将表达式通分，变为实部加上虚部的形式）

画幅相特性图的步骤
  1. 首先将 s=jw 带入表达式，得出幅值和相位的表达式
  2. 之后将 0 和无穷位置的幅值和相位求出来
  3. 将式子变为实部加虚部的形式，判断与两个轴有无交点
  4. 之后由微分环节的次数步圆
  5. 划上从 0——>无穷的箭头

虽然是逆时针画圆，但是，箭头的方向应该是顺时针的

画伯德图的过程
  1. 分析子过程
  2. 首先画出低频段（找出低频段过的点的位置）
  3. 写出转折的点的坐标（转折频率和这个点的幅值）和转折之后的斜率

虽然横坐标是 w，但是在计算斜率的时候横坐标要取十为底的对数

  • 反求的时候主要是求出 K，看截止频率的时候哪些环节已经到转折频率了，就将后面的 1 省略，同时将没有到的省略，写成幅值为 1 的形式