数学基础

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常见的变换对¶

\(f(t)\)	\(F(s)\)
脉冲函数 \(\delta(t)\)	\(1\)
阶跃函数 \(u(t)\)	\(\frac{1}{s}\)
\(\text{e}^{-at}u(t)\)	\(\frac{1}{s + a}\)
\(\sin(\omega t)u(t)\)	\(\frac{\omega}{s^2 + \omega^2}\)
\(\cos(\omega t)u(t)\)	\(\frac{s}{s^2 + \omega^2}\)
\(\text{e}^{-at}\sin(\omega t)u(t)\)	\(\frac{\omega}{(s + a)^2 + \omega^2}\)
\(\text{e}^{-at}\cos(\omega t)u(t)\)	\(\frac{s + a}{(s + a)^2 + \omega^2}\)
\(tu(t)\)	\(\frac{1}{s^2}\)
\(\frac{1}{2}t^2u(t)\)	\(\frac{1}{s^3}\)
\(t^nu(t)\)	\(\frac{n!}{s^{n + 1}}\)

拉普拉斯变换总览¶

时域和频域¶

时域：变量为t（时间），即横轴为时间，纵轴为信号的取值。
频域：变量为ω（频率），即横轴为频率，纵轴为信号的幅值。

拉式变换¶

定义：傅里叶变换的一般形式，通过加入快速衰减函数 \(e^{−σt}\)，使得任意时域信号均可转换为频域信号
作用：时域信号和频域信号之间的桥梁
特点：时域下的卷积运算可通过拉普拉斯变换转换为频域下的乘法运算。

拉式变换在自动控制领域的应用¶

卷积：\((f*g)(n)=\int_{-\infty}^\infty f(\tau)g(n-\tau)d\tau\)
对于线性时不变系统，任意输入信号通过系统后的输出，等于 “输入信号在每个时刻的瞬时值” 与 “系统对该瞬时值的延迟响应” 的加权积分（叠加）

拉氏变换¶

在拉氏变换中使用 s 表示复变量：

\[ s=\sigma+j\omega \]

引入快速衰减函数：将傅里叶变换变为：

\[ \int_0^{+\infty}f(t)e^{-\sigma t}e^{-i\omega t}dt=\int_0^{+\infty}f(t)e^{-(\sigma+i\omega)t}dt \]

此时 e 上的指数就是 -st

对于复变量s 的函数 \(G(s)\)，幅值和幅角：\(\sqrt{G_x^2+G_y^2}\text{和}\arctan(G_y/G_x)\)

重要的点

极点：是 G (s) 趋向于无穷的先
零点：使得 G (S) 等于 0 的点

例子

\[ G(s)=\frac{K(s+2)(s+10)}{s(s+1)(s+5)(s+15)^2} \]

在 s=-2，-10 有零点
在 s=0，-5，-1 有单极点，在-15 有双极点

欧拉定理¶

\[ \begin{gathered}\cos\theta+j\sin\theta=e^{j\theta}\\\cos\theta=\frac{1}{2}(e^{j\theta}+e^{-j\theta})\\\sin\theta=\frac{1}{2j}(e^{j\theta}-e^{-j\theta})\end{gathered} \]

拉式变换¶

公式：

\[ L[f(t)]=F(s)=\int_{0}^{+\infty}f(t)e^{-st}dt \]

f(t)为时间t的函数并且当t<0时，f(t)=0；
F(s)称为f(t)的拉普拉斯变换，又称为象函数，而f(t)称为F(s)的原函数。

性质¶

线性的性质

\[ \begin{aligned}&L[Af(t)]=AL[f(t)]\\&L[f_{1}(t)\pm f_{2}(t)]=L[f_{1}(t)]\pm L[f_{2}(t)]\end{aligned} \]
平移定理：（延时）

\[ \text{若}\mathrm{L[f(t)]=F(s),}\text{则L[f(t-}\alpha)\mathrm{]=e^{-as}F(s)。} \]
乘以指数：

\[ L[e^{-\alpha t}f(t)]=\int_{0}^{+\infty}e^{-\alpha t}f(t)e^{-\varepsilon t}dt=\int_{0}^{+\infty}f(t)e^{-(s+\alpha)t}dt=F(s+\alpha) \]
相似定理：

\[ \text{若L[f(t)]=F(s),则L[f(t/a)]=aF(as)} \]
微分定理：

\[ L[\frac{d}{dt}f(t)]=sF(s)-f(0) \]

\[ L[\frac{d^{2}}{dt^{2}}f(t)]=s^{2}F(s)-sf(0)-\dot{f}(0) \]

以此类推
终值定理：

\[ \lim_{t\to+\infty}f(t)=\lim_{s\to0}sF(s) \]
初值定理：

\[ \lim_{t\to0}f\left(t\right)=\lim_{t\to+\infty}sF\left(s\right) \]
积分定理：

\[ L[\int f(t)dt]=\frac{F(s)}{s}+\frac{f^{-1}(0)}{s},\quad\text{其中}\mathrm{f}^{-1}(0)\text{是}\int f(t)dt\text{在}t=0\text{时的值} \]
卷积定理：

\[ \mathrm{L}[f_{1}(t)^{\star}f_{2}(t)]=F_{1}(s)F_{2}(s) \]

拉式反变换¶

\[ f(t)=L^{-1}[F(s)]=\frac{1}{2\pi}\int_{\epsilon-j\infty}^{\epsilon+j\infty}F(s)e^{st}ds\quad(t>0) \]

拉式变换后的函数尝尝以分式的形式出现：\(F(s)=\frac{B(s)}{A(s)}\)
所以一般求解的方式如下（反变换）：

\[ F(s)=F_{1}(s)+F_{2}(s)+...+F_{n}(s)=L\left[f_{1}(t)\right]+\cdots+L[f_{n}(s)]L^{-1}[F(s)]=f(t)=L^{-1}[F_{1}(s)]+\cdots+L^{-1}[F_{n}(s)]=f_{1}(t)+\cdots+f_{n}(t) \]

将 F (s) 变为分式的形式
之后使用常见的变换的公式和加法的运算法则反变换

具有不同极点的F(s)的部分分式展开¶

也就是分母拆成的解是不同的

\[ F(s)=\frac{B(s)}{A(s)}=\frac{a_{1}}{s+p_{1}}+\frac{a_{2}}{s+p_{2}}+\cdots+\frac{a_{n}}{s+p_{n}} \]

其中的 a 为常数，为对应的 s 的留数

\[ a_{k}=[(s+p_{k})\frac{B(s)}{A(s)}]_{s=-p_{k}} \]

多重的极点¶

形式：

\[ F(s)=\frac{k_{1}}{s+s_{1}}+\frac{k_{2}}{\left(s+s_{1}\right)^{2}}+\cdots+\frac{k_{n-1}}{\left(s+s_{1}\right)^{n-1}}+\frac{k_{n}}{\left(s+s_{1}\right)^{n}} \]

k 的求解方式：

\[ \begin{aligned}&k_{n}=[(s+s_{1})^{n}F(s)]|_{S=-S_{1}}\\&k_{n-1}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}[(s+s_{1})^{n}F(s)]|_{S-S,}\\&k_{n-2}=\frac{1}{2!}\times\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}s^{2}}[(s+s_{1})^{n}F(s)]|_{S=-S_{1}}\\&k_{1}=\frac{1}{(n-1)!}\times\frac{\mathrm{d}^{n-1}}{\mathrm{d}s^{n-1}}[(s+s_{1})^{n}F(s)]|_{S--S_{1}}\end{aligned} \]

实际上就是让其他的项为 0

具有共轭复数极点的F(s)的部分分式展开¶

形式：

\[ F\left(s\right)=\frac{B\left(s\right)}{A\left(s\right)}=\frac{a_{1}s+a_{2}}{(s+p_{1})(s+p_{2})}+\frac{a_{3}}{s+p_{3}}+\cdots+\frac{a_{n}}{s+p_{n}} \]

其中的 \(p_1.p_2\) 为共轭复数
常数的求法：

\[ \left(a_{1}s+a_{2}\right)_{s=-p}=[\frac{B(s)}{A(s)}(s+p_{1})(s+p_{2})]_{s=-p} \]